mcp-frontiermath

请用严格推导求解这道数论题：设 p 为奇素数，分析 x^2 ≡ -1 (mod p) 何时有解，并给出证明。

给出分步证明、成立条件以及相关数论结论的清晰说明。

请分析有限域 GF(3^4) 的构造方法，说明如何选择不可约多项式，并展示域中元素加法与乘法的表示方式。

返回有限域构造思路、示例多项式及运算表示的系统说明。

请用研究生能理解的方式解释射影簇、仿射簇与态射之间的关系，并给出一个具体例子。

输出概念对比、关系梳理以及带推导的示例说明。